Как называется счет на пальцах. Счёт на пальцах. Пальцевый счёт в качестве культурной идентификации

Сегодня по дороге на работу встретил своего старого знакомого с сыном. Опустив подробности нашей беседы перейду сразу к проблеме. У ребенка в школе нелады с двоичным счетом .

Как потом выяснилось, в школьных программах до сих пор учат переводить из десятичной системы в двоичную путем делением в столбик.

Признаюсь, в мое время учили точно так же. Прямо каменный век какой-то. Зачем мучить детей делением, если у каждого есть по 10 пальцев на руках?

Я конечно понимаю, что педагогов и в университетах этому не учат, но наверняка у многих есть знакомые электронщики, которые давно используют этот метод. Не думаю, что “спалю тему” описав его. Вдруг, кому-то пригодится. Сразу сделаю оговорку, что на десяти пальцах можно переводить числа до 1023. Если нужно больше – разувайтесь.

Давайте оторвем руки от клавиатуры и посмотрим на ладошки.

Внешне, ничего примечательного в них нету, но на самом деле это отличный сервис для перевода чисел из десятичной системы в двоичную . Нужно просто знать, как это делается.

Теперь посмотрим на ладошки так:

Для примера переведем число 35 из десятичной системы счисления в двоичную . Для этого сжимаем все пальцы в кулак, а потом разжимаем только те, сумма цифровых значений которых равна 35. Те пальцы, которые вы разжали - это единички, а остальные - нули. Загибать будем справа налево.

Для числа 35 это будут: большой палец правой руки (1) + указательный палец правой руки (2) + мизинец левой руки (32).

Запишем результат по загнутым пальцам слева направо: 0000100011

Отбросив все нули слева от первой единицы получаем: 100011

Все просто. Нужно только потренироваться.

Варианты ответов оставляйте в комментариях.

Если я непонятно расписал - спрашивайте. Попробую переформулировать метод для лучшего понимания.

Магазиной Евгении

руководитель - ёва

Учитель математики.

Владимир

1.Введение………………………………………………………………...3

2.Предпосылки появления пальцевого счёта…………………………...4

3.Пальцевый счёт в разных странах……………………………………..5

4.Различные приёмы умножения (в рамках пальцевого счёта)………..6

4.1.Умножение в древнем Риме………………………………………….6

4.2.Умножение в средневековой Европе………………………………..6

4.3.Старорусский приём. «Умножение крестиком».....................……...7

4.4.Древнеегипетский способ……………………………………………8

4.5.«Русский способ умножения»……………………………………….8

5.Практичесое применение пальцевого счёта в современной жизни…9

6.Список литературы…………………………………………………….10

Введение.

Коротко математику можно охарактеризовать как науку о числах и фигурах. Трудно назвать такую отрасль человеческой деятельности, где не приходилось бы ставить и решать вопросы о количестве предметов, об их размерах и форме.

С глубокой древности накапливалось все больше сведений о числах. Начатки математических знаний обнаруживаются уже примерно за 4 тыс. лет до н. э. Об этом свидетельствуют дошедшие до нас египетские папирусы, вавилонские таблички, где встречаются решения арифметических, геометрических и алгебраических задач.

В 3 в. до н. э. Архимед нашёл способ определения площадей, объёмов и центров тяжести простых фигур. Во 2 в. до н. э. Птолемей изложил основы тригонометрии, дал таблицы синусов. Учёные народов Востока и Западной Европы делали сложнейшие математические вычисления без технических приспособлений.

Мне показалось интересным разобраться в древних способах счета. Теперь я понимаю, насколько мудры были древние математики. Изучать эти материалы действительно очень увлекательно. Подобные сведения не содержатся в школьных учебниках. Особенно интересно узнать о русском учёном, который внёс большой вклад в развитие отечественной математики.

Цель реферата состоит в изучении пальцевого счёта и различных способов умножения, а также в применении их в современной практической жизни. Содержание реферата поможет легко делать сложные математические вычисления без использования технических приспособлений.

Предпосылки появления пальцевого счёта

Очень рано у людей появилась необходимость сообщать друг другу о том, что такое-то число предметов должно быть доставлено через столько-то дней или что каждое племя должно выставить такое-то число воинов. И даже те народы, у которых имелось только два числительных, умели в известном смысле «сосчитывать» довольно большое количество предметов.

До сих пор счёт у папуасов очень близок к построению чисел по принципу умножения. В Южной Африке считали стада следующим образом: один из африканцев считал каждую голову, второй-число десятков, сосчитанных первым, а третий - число десятков, сосчитанных вторым, т. е. число сотен. Считали они, используя пальцы рук. Некоторые племена до сих пор пользуются пальцевым счётом.

Счёт по пальцам широко применялся в старину. Пальцы и их суставы, а также загибания и разгибания пальцев, складывание и вытягивание рук давали возможность людям не только считать до десятков и сотен тысяч, и производить некоторые арифметические действия.

Пальцевый счёт в разных странах

В египетских математических папирусах содержатся таблицы разложения дробей на «единичные», правила вычисления площадей и объёмов некоторых геометрических фигур, задачи на определение веса обелисков, на нахождение количества дней и строительных материалов , требуемых для воздвижения статуй, и другие практические задачи.

Древние римляне умножали на пальцах числа, содержащиеся между 5 и 10. Также пальцевый счёт был широко распространен в практической жизни и в средние века. Ирландский учёный монах Беда Достопочтенный (673-735), написавший книгу «О счёте времени», посвятил целую главу счёту на пальцах.

Также в средние века очень распространённым был способ умножения «решёткой», названный в Италии «Джелозия»(оконные жалюзи)

Начиная с римского автора Боэция (480-524), числа делились на «пальцы» (единицы), «суставы» (десятки) и «составные числа» (все прочие числа). Аналогичные названия встречаются и в «Арифметике»: «персты» (числа первого десятка), «составы» (числа вида 30, 50 и др.) и «сочинения» (все прочие числа). При этом он разъяснял, что «сия числа сочинения называются, понеже они из перстов и составов сочиняются». Подробное деление чисел имелось ещё у древнеримских математиков и восходит к счёту при помощи пальцев, в котором единицы изображались пальцами, т. е. «перстами», а десятки – суставами пальцев.

Интересно, что цифры Магницкий называл «знаменованиями», т. е. обозначениями – знаками, словом «цифра» он согласно принятой терминологии обозначает нуль.

Французы поныне называют единицы «пальцами».

С давних пор практиковались многочисленные и разнообразные правила умножения и деления.

Пальцевый счёт, который постепенно исчезал после полного утверждения десятичной позиционной системы счисления, сохранился в Европе до 18 века.

Различные приёмы умножения (в рамках пальцевого счёта)

Древние римляне следующим образом умножали числа, содержащиеся между 5 и 10:

Пусть требуется умножить 6 на 7. Считаем на пальцах левой руки, согнутой в кулак, до 6, разгибая по одному пальцу, а на правой то же до 7. Всего на обеих руках 3 согнутых пальца – это количество десятков (3 дес.=30).Количество разогнутых пальцев левой руки (4) перемножаем на количество разогнутых пальцев правой (3), получаем: 4*3=12.

Итак, 30 + 12=42.

Аналогично:

6*8 = (1+3)*10+4*2=48

6*9 = (1+4)*10+4*1=54

7*7 = (2+2)*10+3*3=49

7*8 = (2+3)*10+3*2=56

7*9 = (2+4)*10+3*1=63

8*8 = (3+3)*10+2*2=64

8*9 = (3+4)*10+2*1=72

9*9= (4+4)*10+1*1=81

В средневековой Европе числа перемножались похожим способом.

Вот как производилось, например, умножение 13 на 14.

Известно:

1. Русская литература" href="/text/category/russkaya_literatura/" rel="bookmark">русской рукописи описывается интересный прием «умножения крестиком», применявшийся ещё в древней Индии под названием «молниеносного».

Пусть требуется, например, умножить 48 на 27.

1..gif" width="14" height="14">Пишем: 48

2. Говорим: 7×8=56

3..gif" width="14" height="14">Пишем: 6, в уме 5 48

https://pandia.ru/text/78/043/images/image005_9.gif" width="14" height="14 src=">Пишем 9, в уме 4; 48

https://pandia.ru/text/78/043/images/image002_22.gif" width="14" height="14 src=">Пишем: 12 и получаем произведение 1296 48

0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

1. 54·42=2592(руб.)-для изготовления джема

2. 54·16=864(руб.)-для изготовления начинки тортов

3. 54·8=432(руб.)-для изготовления цукатов

4.2592+864+432=3888(руб.)-всего

Ответ: кондитерский цех потратил 3888 рубля.

Список литературы.

1.Галанин и его арифметика, - М., -1914.

2.Глейзер математики в школе 4-6 классы, - М., - 1978.

3. , - М.,-1967.

4.Депман чисел, - Л.,- 1963

5.Детская энциклопедия для среднего и старшего возраста. Т. 2, - М., -1964.

6. Энциклопедия для детей. Математика. – М.:Аванта, 2001.

Рецензия

На реферат «Пальцевый счёт и другие приёмы умножения»

учащейся 8 класса Магазиной Евгении.

Данная работа есть первая попытка самостоятельного исследования темы «Пальцевый счёт и другие приёмы умножения». Содержание реферата является субъективно новым материалом для учащейся, так как пальцевый счёт не входит в школьную программу по математике.

Тема реферата достаточно актуальна, поскольку пальцевый счёт – занятие всегда доступное, простое и развивающее. В работе рассмотрены различные виды пальцевого счёта, которые позволяют использовать их в практической жизни. Тема работы раскрыта полностью в соответствии с планом.

Материал представлен в доходчивой форме, дают возможность ясно представить и понять рассматриваемые факты.

Соблюдены требования к объёму и оформлению реферата.

Практическая ценность данной работы заключается в возможности её применения на уроках и факультативных занятиях в школе.

Управление образования администрации округа Муром

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №16»

Реферат

Пальцевый счет и другие приемы умножения

Выполнил ученик 8 класса

Красовитов Кирилл

Руководитель Кузина Г.Е.

2009

Введение3

1. Из истории пальцевого счета4

2. Приемы пальцевого счета6

3.Другие приемы умножения10

4. Современные приемы быстрого счета13

Заключение14

Список литературы15

Введение

Выбирая тему для реферата, я сразу остановился на пальцевом счете, потому что до этого не представлял, что это такое (вернее думал, что это то же самое, что и счет на палочках). Поскольку сейчас, с введением ЕГЭ, умение вычислять без калькулятора становится очень актуальным, нелишним будет подробнее ознакомитьсяс пальцевым счетом и другими приемами умножения.

Цель моей работы: выявить суть, а также преимущества и недостатки

пальцевого и других приемов счета; попытаться

обосновать их с помощью законов математики.

Задачи : - ознакомиться с историей вопроса,

Освоить приемы пальцевого счета и другие приемы умножения,

Сравнить их между собой и с современнымивычислительными

приемами.

Прежде всего я ознакомился с известными фактами из жизниЛ.Ф. Магницкого и с содержанием его «Арифметики» и убедился, что интересующий меня вопрос там представлен довольно скупо. Дополнительную информацию я получил из различных книг по истории математики.

Всю работу я разделил на четыре части, в которых осветил историю пальцевого счета, его суть у разных народов, рассмотрел некоторые приемы умножения, отличные от современного, а также привел приемы быстрого счета, которые я использую при изучении математики и в практической жизни.

1. Из истории пальцевого счета

Перед людьми, освоившими натуральный ряд чисел до некоторой достаточно далекой границы, встала необходимость создания удобных способов называния и записи чисел. Нужно было решить задачу создания устной и письменной нумерации. В разные эпохи отдельными народами эта задача решалась различно.

При значительном объеме числового множества нельзя было ограничится примитивным способом, дающем каждому числу свое особое название. Человеческая память ограниченна. Безнадежно было бы счисление, которое каждому числу присваивало бы особое название. Но люди вскоре догадались, что считать надо группами, называя группы теми же именами числительными, что и единицы, но с добавлением названий групп.

Большинство народов употребляло и употребляет десятичные группы счета или десятичную систему счисления. Для составления названий чисел по этой системе нужно иметь десять слов для названий первых десяти чисел и затем названия для новых счетных групп – сто, тысяча и т.д.

Единственной причиной, заставившей большинство народов избрать десятичную систему, является наличие у человека на руках десяти пальцев, которые служили удобнейшей вещественной основой счета. Десять пальцев – это то стандартное множество, с которым сравнивал первобытный человек всякое другое множество до тех пор, пока у него не образовалось в сознании новое стандартное множество, в виде ряда натуральных чисел. Историческую роль пальцев при образовании числовых понятий мы вспоминаем, когда советуем кому-то считать на пальцах. Об этом напоминают и языковые факты – названия числительных у разных народов: часто число 5 называют «рукой», 10 – «две руки», 20 – «весь человек», то есть две руки и две ноги.

В «Арифметике» Магницкого числа 1,2,3.4,5,6,7,8,9 называются «перстами», 0 – «низачто», полные десятки – «составами», числа, состоящие из десятков и единиц,– «сочинениями». Эти названия являются аналогами таких же названий в европейских языках. Существование у ряда народов двадцатеричной системы счисления (у майя в Центральной Америке, у басков, у кельтских народов в прежние времена) имеет, по-видимому, ту же основу – пальцевой счет.

Пальцевой счет – обозначение чисел при помощи пальцев – обладал не только большой наглядностью, но и был вызван практической потребностью. Он был необходим в торговых местах,где сталкивались представители разных народов, не имеющих общего языка. Практическая необходимость выработала общий пальцевый счет, понятный без слов, и этому счету обучали детей в школе. Римский писатель Цицерон (1 в. до н.э.) в одной из своих речей клеймит низкий уровень преподавания в римской школе, где таблица умножения заучивается только до 5, а дальнейшая ее часть восполняется счетом на пальцах.

Итак, счет по пальцам широко применялся в старину. Пальцы и их суставы, а также загибания и разгибания пальцев, складывание и вытягивание рук давали возможность людям не только считать до десятков и сотен тысяч, но и производить некоторые арифметические действия.

2. Приемы пальцевого счета

Мне удалось найти несколько приемов пальцевого умножения, применяемого разными народами.

1. Вот, например, как умножали древние римлянена пальцах числа, содержащиеся между 5 и 10:

для перемножения чисел а и в , каждое из которых больше 5 и меньше 10, нужно вытянуть на одной и другой руке столько пальцев, на сколько данные числа каждое в отдельности превышают 5; сумма чисел вытянутых пальцев дает десятки произведения; к ним надо прибавить произведение чисел, соответствующих остающимся загнутым пальцам, каждое из которых меньше 5 (до 5 таблицу умножения заучивали). Обоснованием этого приема служит тождество:

10 ((а -5)+(в -5))+(10-а)(10-в)=ав

Пример : найти произведение 7*8.

1.На одной руке вытягиваем 2 пальца, на другой 3 пальца. Сумма 2+3=5 – число десятков.

2.На одной руке загнуты 3 пальца, на другой – 2 пальца; 2*3=6- единицы.

5 десятков и 6 единиц – 56, то есть 7*8=56.

2 . В русской рукописи есть заметка о том, как поступать, когда «прежписанные изустные слова из памяти выдут, а умноженное число доведется вскоре ведати». Для этого рекомендовалось следующее:

Найти арифметические дополнения сомножителей до 10 и перемножить их – получим единицы. Десятки получаем вычитанием одного дополнения из другого числа. Обоснованием является тождество

10(в -(10-а ))+(10-а )(10-в )=ав или10(а -(10-в ))+(10-а )(10-в )=ав

Пример : найти произведение6*7.

1. Берем арифметические дополнения 4 и3 и перемножаем, получаем 12 – единицы.

2. Десятки получаем вычитанием одного дополнения из другого числа (6-3 или7-4),то есть3.

Получаем 30+12=42, то есть 6*7=42.

Л.Ф.Магницкий усовершенствовал этот способ, применив его к пальцам. К своей таблице умножения он дает интересное дополнение. Он приводит «ин способ, к утверждению таблицы, по перстом ручным сице»,и описывает его так:

«Аще хочешь ведать, сколько будет 7*7, то

1. причти к перстам левой руки от правой 2, и станет 7;

2. также и к перстам правой руки от левой, чтобы стало 7;

3. сложи причтенные персты обеих рук, будет 40;

4. остальные же с обеих рук (3 и 3) умножи между собой и будет 9;

5. приложи 40 и 9, будет 49.

По этому правилу : 8*9=(3+4)10+2*1=72,

8*6=(3+1)10+2*4=48

Эти два приемы пальцевого счета схожи друг с другом и применяются вместо таблицы умножения. Я думаю, что они интересны сами по себе, но реально удобнее все-таки знать наизусть таблицу умножения

3. До сих пор хорошо известен пальцевый прием таблицы умножения на 9 (его описывает в своей книге «Математическая смекалка» Б.А.Кордемский):

Положите ладони обеих рук на стол. Каждый палец слева направо будет означать соответствующее порядковое число: первый слева – 1, второй -2 и т. д. пусть требуется умножить число первого десятка на 9. Дляэтого стоит только, не сдвигая рук со стола, приподнять вверх тот палец, который означает множимое. Тогда число остальных пальцев, лежащих слева от поднятого пальца, будет числом десятков произведения, а число пальцев справа – числом единиц.

Я думаю, этот прием и сейчас может помочь малышам, которые только осваивают таблицу умножения

4 . Пальцевый счет был широко распространен в практической жизни и в средние века. Ирландский ученый монах Беда Достопочтенный (673-735), написавший книгу «О счете времени», посвятил целую главу счету на пальцах.

Вот как производилось, например, умножение двузначных чисел второго десятка: найти произведение 13*14:

1. Известно 10*10=100.

2. загибают на одной руке 3. а на другой 4 пальца,

3. 3+4=7, это- десятки, то есть 7*10=70,

4. 3*4=12, это единицы.

Итак:

5. 13*14=10*10+7*10+3*4=182.

Я объяснил этот прием правилом перемножения многочленов:

(10+а)(10+в)=10*10+(а+в)10+ав

Мне кажется, запоминание самого приема требует больше усилий, чем наше умножение «столбиком», хотя при достаточном опыте его можно использовать при устном счете.

Пальцевый счет, который постепенно исчезал после полного утверждения десятичной позиционной системы счисления, сохранился в Европе до XVIII века.

3. Другие приемы умножения

Кроме пальцевого счета существуют и другие приемы сокращенных и облегченных вычислений. Приемы, рекомендованные в европейских школах, выработались в Индии.

1 . В одной старинной русской рукописи описывается интересный прием «умножения крестиком», применявшийся в древней Индии под названием «молниеносного».

Пусть требуется, например, умножить 48 на 27.

1. Пишем48

х

27

2. Говорим:7х8=56

3. Пишем:6, в уме 548

х

27

6

4. Говорим:7х4=28;28+5=33;

33 в уме, 2х8=16,

16+33=49;

5. Пишем 9, в уме 4;48

х

27

9 6

6. Говорим:2х4=8;8+4=12;

7. Пишем: 12 получаем произведение 1296;48

х

27

1296

Мне этот прием совсем не показался молниеносным, сложно запомнить, что держим в уме и с чем складываем. Я считаю более простым умножение столбиком, как обычно мы делаем.

2. Умножение у древних египтян сводилось к последовательному удваиванию и сложению.

Пример . Найти произведение 15х13.

Составляем два столбца, во главе первого стоит 1, а второго - множимое 15. Этичисла последовательно удваиваются до тех пор, пока, складывая некоторые числа левого столбца, становится возможным получить множитель 13. числа правого столбца, которые надо сложить, чтобы получить искомое произведение, соответствуют отмеченным числам левого столбца.

/11515х13=(1+4+8)х15=15+60+120=195

230

/460

/8120

Пример .18х15

11518х15=240

/230

8120

/16240

3 . К староегипетскому близок так называемый «русский способ умножения», применявшийся крестьянами в дореволюционной России. Он основан на последовательной замене произведения двух сомножителей, при которой один из них повторно удваивается, а другой раздваивается до единицы.

Пример 1. Найти произведение 27х16.

2716

1084

2162

4321Итак,27х16 = 54х8 = 108х4 = 216х2 = 432х 1 = 432

Пример 2. Найти произведение 46х28.

В этом случае при раздвоении сомножителя 28 получается остаток. Его пишем в скобках в соответствующих местах.

4628Для получения произведения следует добавить числу

9214первого столбца те числа этого же столбца, которые

Кандидат биологических наук Б. КАЗАЧЕНКО (НИИ и Музей антропологии МГУ им. М. В. Ломоносова).

Наука и жизнь // Иллюстрации

Братья Лимбурги. “Грехопадение и изгнание из рая”, 1415 - 1416.

Изображение числа 30.

Так изображалось число 100.

Европейский (древнеегипетский) пальцевой счет дюжинами по фалангам.

Старорусский счет сибирских звероловов по суставам пальцев.

Самая сложная - китайская пальцевая система счета.

Древнерусский способ умножения на пальцах рук.

Абак - древнейшее счетное устройство, пришедшее на смену пальцевому счету.

Самым первым инструментом счета у древнего пещерного человека в верхнем палеолите, безусловно, были пальцы рук. Сама природа предоставила человеку сей универсальный счетный инструмент. У многих народов пальцы (или их суставы) при любых торговых операциях выполняли роль первого счетного устройства. Для большинства бытовых потребностей людей их помощи вполне хватало.

К счету по пальцам рук восходят многие системы счисления, например пятеричная (одна рука), десятеричная (две руки), двадцатеричная (пальцы рук и ног), сорокаричная (суммарное число пальцев рук и ног у покупателя и продавца). У многих народов пальцы рук долгое время оставались инструментом счета и на наиболее высоких ступенях развития.

У нас в быту до сих пор используется счет мелких предметов “пятка ми”: пуговиц, шурупов, крупных семян, огурцов, яиц, чеснока и т.д. В царской России чеканились золотые монеты номиналом в 5, 10 и 15 рублей (империал).

Однако в разных странах и в разные времена считали по-разному.

Несмотря на то что у многих народов кисть руки является синонимом и фактической основой числительного “пять”, у различных народов при пальцевом счете от одного до пяти указательный и большой пальцы могут иметь разные значения.

Например, у итальянцев при счете на пальцах рук большой палец обозначает цифру 1, а указательный - метит цифру 2; когда же считают американцы и англичане, указательный палец означает цифру 1, а средний - 2, в этом случае большой палец представляет цифру 5. А русские начинают счет на пальцах, первым загибая мизинец, и заканчивают большим пальцем, обозначающим цифру 5, при этом указательный палец сопоставлялся с цифрой 4. Но когда показывают количество, выставляют указательный палец, затем средний и безымянный.

Когда же совершался магический счет у древних египтян, они держали открытые ладони перед лицом, ведя счет от большого пальца правой руки до большого пальца левой руки.

Североевропейский пальцевой счет позволял показывать пальцами одной руки, складываемыми в различные комбинации, все числа от 1 до 100. Причем большим и указательным пальцами изображались десятки, остальными тремя - единицы.

Например, число 30 получалось, когда большой и указательный пальцы левой руки были соединены в кольцо. Для того чтобы изобразить число 60, большой палец нужно согнуть и как бы склонить его перед указательным, нависающим над ним. Чтобы показать число 100, нужно было прижать выпрямленный большой палец снизу к указательному и отвести остальные три пальца в сторону.

По свидетельству древнеримского историка Плиния-старшего, на главной римской площади - Форуме была воздвигнута гигантская фигура двуликого бога Януса. Пальцами правой руки он изображал принятое в то время обозначение в Риме числа 300 (соединение большого и указательного в кольцо), пальцами левой руки - 55 (загнут большой и средний). Вместе это составляло число дней в году в римском календаре.

То обстоятельство, что в Англии первые десять чисел в Средние века называли общим именем - “пальцы”, подтверждает распространенность счета на пальцах и у англичан. Видимо, неслучайно и то, что в древнерусской нумерации единицы назывались “перстами”, десятки - “суставами”, а все остальные числа - “сочислениями”.

Счет парами вплоть до середины XVIII века всегда занимал важное место в жизни россиян, поскольку имел качественное происхождение - пара рук, ног, глаз и пр. Недаром говорили: “два сапога - пара”, “двугривенный” и т.д.

Обычно счет па рами велся во всех торговых сделках, при продаже мелким оптом яиц, яблок или галантерейных изделий. Индивидуальная мера потребления порционного чая в трактире называлась “парой чая”, а торговая мера необходимого и достаточного количества молока для городской семьи, проживавшей в XIX столетии в Москве, составляла “пару (крынок) молока”. Естественной мерой расстояния, связанной с землемерием и ножными промерами русских землепроходцев, являлся сдвоенный или “парный шаг” (равный одной маховой сажени). В торговых операциях с шелковой тканью, привозимой из Турции, всегда использовался так называемый русский локоть (именуемый также парным или “большим локтем”). Дело в том, что в те времена материя приготавливалась в виде узких полос, которые удобно было отмеривать, наматывая на руку, - начиная со сгиба большого пальца, - оборачивая ее вокруг локтя и снова натягивая ее до большого пальца. Длина полного оборота материи вокруг “локтя” давала особую единицу меры - “двойной локоть”, который вошел у нас в употребление с XV века и получил название “русский локоть” или “аршин”.

Счет тройками появился на Руси в результате ее контактов с Византией, Золотой Ордой и Древним Китаем (происходя от личных местоимений “я”, “ты”, “он”). Этот счет у нас не прижился, за исключением, пожалуй, традиции запрягать лошадей в тройку да православного обычая креститься тремя перстами. Правда, напоминанием об этой эпохе еще могут служить пятиалтынные монеты достоинством в 15 копеек (выпускавшиеся и в Советском Союзе), шестиденежный алтын (трехкопеечные монеты, равные шести деньгам московским или трем медным копейкам новгородским) и червонцы в виде трехрублевых монет, выпускаемых в России с 1701 года.

Счет четверками произошел от древнего - двоичного счета. Остатки этой системы счисления прослеживаются в музыкальной нотации (например, октава делится на два тетрахорда), в названии русской меры жидкостей - “четверть”, в делении года на четыре сезона и т. п.

Четверичная система счета основана на “перстах” руки, не считая большого пальца. Большой - вовсе не “перст”, он “палесъ”! - в этой системе счисления означал конец счета, то есть являлся эквивалентом нуля. Кстати, и в английском языке те же четыре пальца называются словом “fingers”, а большой палец - “thumb”, что соответствует русскому “дыбъ” или “дыба” (дословно: “стоящий позади” палец).

Система счисления первобытных людей, рисовавших палочки на стенах пещеры или делавших зарубки на костях животных и ветках деревьев, не забыта и в наши дни. Об этом свидетельствуют сержантские полоски в армии или количество нашивных полосок на рукаве курсантского мундира, соответствующих курсу обучения в военном вузе.

Пальцевой счет шестерками на Руси практически не использовался. Однако с шестеричной системой счисления Древняя Русь познакомилась в XI-XIII веках в северном Причерноморье через так называемый византийский счет, в котором число “шесть” почему-то являлось ключевым. Нам же о тех временах на память остались несколько слов: “шестерик” или “шестак” (полдюжины или шесть штук), “шестидланный локоть” (54 см) да девичья коса длиною в шесть кулаков (“шестидланная” или “шес-тиручная” коса), одним словом “шестиручка” в 12 вершков (то есть “верхов перста”).

Счет восьмерками также основан на пальцевом счете и, по сути, является сочетанием двоичной и четверичной систем. Элементы восьмеричной системы существовали на Руси еще в начале XX столетия. Это и восьмиконечный крест, который использовали староверы, и восьмиголосное церковное пение, и название русской питейной меры - “осьмушки”, получаемой в результате последовательного троекратного деления пополам. В русской народной метрологии - это вообще деление какой-либо учетной нераздельной меры (например, куска пахотной земли, сажени или ведра вина) на части, соответствующие 1 / 2 , 1 / 4 и 1 / 8 долям.

Восьмеричная система счисления лежит в основе всех натуральных музыкальных ладов (октава) и была единственной до появления в XVIII веке хроматической гаммы. Переход от восьмеричной к десятеричной системе на Руси оставил след и в слове “девяносто” - попытке комбинации восьми- и десятеричной систем.

Пальцевой счет девятками является, пожалуй, самым распространенным русским народным способом умножения на пальцах с помощью так называемых девятериц - своеобразной таблицы умножения, обозначающей девятилетние сроки человеческой жизни. Наши предки в древности какое-то время считали девятками (впрочем, похоже, что они все-таки считали восьмерками, а с девяти начинался уже новый отрезок счета). С тех пор прошло не менее семи - девяти столетий, но мы до сих пор трепещем перед грозным “девятым валом” или устраиваем поминки по усопшему на девятый день после кончины.

Кстати, “девяносто” до 1398 года порой писалось как “девятьдесятъ”. Вспомним также популярный сказочный адрес, по которому традиционно отправлялись на подвиги герои: тридевятое царство, тридесятое государство.

Счет десятками возник около 3-2,5 тысячи лет до нашей эры в Древнем Египте. Претерпев небольшие изменения, древнеегипетская десятеричная система сначала обосновалась на Востоке (в Индии примерно к VI веку нашей эры, более известная как индийский счет), а затем через весьма активную торговлю в XI-XIII веках достигла пределов Древней Руси. От Орды Русь переняла десятичную систему счисления для весовых измерений и денежного счета, опередив в этом даже Европу, которая познакомилась с десятеричной системой счисления через арабов только в XIII веке, а усвоила ее и того позже.

Однако окончательно эта система счисления прижилась в России вместе с реформами Петра I, пришедшими к нам из Европы.

Древнерусский способ умножения на пальцах является одним из наиболее употребительных методов, которым успешно пользовались на протяжении многих столетий российские купцы. Они научились умножать на пальцах однозначные числа от 6 до 9. При этом достаточно было владеть начальными навыками пальцевого счета “единицами”, “парами”, “тройками”, “четверками”, “пятерками” и “десятками”. Пальцы рук здесь служили вспомогательным вычислительным устройством.

Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. Потом бралось число (суммарное) вытянутых пальцев и умножалось на 10, далее перемножались числа, показывавшие, сколько загнуто пальцев на руках, а результаты складывались.

Счет дюжинами ведет свое начало от счета по фалангам пальцев рук. При этом большой палец играл роль счетчика, при помощи которого пересчитывались фаланги других пальцев. Двенадцать получается, если, например, начать с нижней фаланги указательного пальца и закончить верхней фалангой мизинца. Причем у разных европейских народов в торговле укоренился счет дюжиной дюжин (“гроссом”), пятеркой дюжин, то есть “шестидесятками”, и даже дюжиной гросса, то есть “массой”.

Двенадцатеричная система счисления была когда-то широко распространена у многих европейских народов. Узаконить счет дюжинами и гроссами пытался еще шведский король Карл XII (тот самый, которого русские войска разгромили под Полтавой в 1709 году).

До недавнего времени у нас, в России, некоторые предметы (например, носовые платки, перья, карандаши, школьные тетрадки) принято было считать дюжинами. До сих пор вилки, ножи, ложки продают дюжинами, а посудные сервизы (чайные и столовые) по традиции все еще составляют из 12 комплектов. В наборы мебели до недавнего времени непременно входило 12 стульев или кресел. Год мы делим на 12 месяцев, а сутки - на 24 часа, которые в повседневной жизни предпочитаем все же считать по 12 дневных и ночных.

Счет шестидесятками также был связан со счетом на пальцах. Впервые он появился еще у шумеров в III тысячелетии до н.э. в Месопотамии (Междуречье) и затем был перенят вавилонянами, отчего и вошел в историю как вавилонская система счисления. Такой способ счета присутствовал и в древнерусских мерах длины (об этом, например, свидетельствует деление новгородского мерного “локтя” на 60 зарубок).

В Древней Руси (особенно в Новгородской республике XII-XV веков) был широко распространен счет, основанный на счислении числа фаланг на руке “счетовода”. Счет начинался с верхней фаланги “перстка ” (мизинца) левой руки, а заканчивался нижней фалангой (“низ перста”) указательного пальца. Большой, или “палесъ великий”, левой руки при этом последовательно осуществлял “подсчет” суставов на растопыренной пятерне. Досчитав до двенадцати, “счетовод” обращался к своей правой руке и загибал на ней один палец. Так продолжалось до тех пор, пока все пальцы правой руки не оказывались сжатыми в кулак (поскольку число фаланг на четырех пальцах было равно 12, получалось 12 пятерок, то есть 60). Кулак в данном случае символизировал пятерку дюжин, то есть “шестьдесят”.

Отголоски древней шестидесятеричной системы счисления до сих пор остаются у нас в виде деления окружности на 360 градусов (1 градус равен 60 минутам, минута - 60 секундам). Следуя примеру вавилонян в счислении времени, мы до сих пор и час делим на 60 минут, а минуты - на 60 секунд.

Но самое удивительное то, что следы пальцевого счета шестидесятками сохранились почти до наших дней. Еще несколько десятилетий тому назад на рынках Украины, Польши, Прибалтики и Германии можно было встретить продавцов яиц, яблок, груш, грибов и т.д., раскладывавших свой товар на копы - кучи, по 60 штук в каждой.

Счет сороками (или “сороковицами”) имел преимущественное распространение в Древней Руси. Число 40 (четыре десятка) долгое время называли “четыредцать” или “четыредесят”. Но восемьсот лет тому назад для обозначения этого множества на святой и православной Руси впервые появилось название “сорок”. До сих пор ученые спорят, откуда взялось это слово. Одни полагают, что его истоки находятся в греческом названии числа 40 - “тессаконта”, другие утверждают, что оно появилось, когда Русь платила дань “сороковинами” (ежегодная ордынская подать, равная сороковой части наличного имущества). Третья группа исследователей убеждена, что это слово произошло от так называемых меховых денег и названия “сорочка ”. Поэтому наши предки, например, на Русском Севере считали “сорока ми”, а их собратья - сибирские звероловы вели счет “сорочками”, то есть мешками для пушнины, в которых хранились звериные шкуры (преимущественно по 40 штук беличьих шкурок или по 40 собольих хвостов, шедших в XVI веке на пошив одной боярской шубы, именовавшейся “сорочкой”).

Число 40 обладало у нас особым значением, например, сорокадневные периоды, упоминаемые в Священном Писании, в пуде содержалось 40 фунтов, в мерной бочке - 40 ведер, в указном ведре - 40 косушек и т.д.

О том, что число 40 на Руси когда-то играло особую роль при пальцевом счете, говорят и некоторые связанные с ним поверья. Так, сорок первый медведь считался роковым для российского охотника, убить паука - означало избавиться от сорока грехов и т.д. Все то количество, которое превышало некое множество (например, “сорок”), превосходящее всякое воображение (“сорок

Сороков”) и не умещавшееся в голове российского землепашца из-за своей ничем не ограниченной величины, называлось одним словом - “тьма”.

Строго говоря, в Древней Руси тьмой называли, кроме того, еще и число 10 000 и “великое” число 1 000 000. Не вызывает сомнений, что предки наши были знакомы и с большими числами, для которых использовались специальные названия: число “тьма тем” (то есть миллион миллионов) называлось “легион”, число “легион легионов” называли “леодр”, “леодр леодров” называли “вороном”, а число 10 49 -“колодой”. И лишь “более сего несть человеческому уму разумевати”, то есть лишь для больших чисел у россиян в XVII веке не существовало названий.

Это вычисление ведет свое начало от счета по суставам пальцев сибирских звероловов, которые таким манером вели учет общего количества звериных шкур (“сороков”), подлежащих бартеру (мене) на другие товары. Большим пальцем правой руки, используемым в качестве счетчика, сибирский охотник пересчитывал каждую пару суставов на четырех оставшихся пальцах и, насчитав таким образом восемь единиц, загибал один палец левой руки. Очевидно, что операция счета кончалась, когда были загнуты все пять пальцев левой руки, что давало пять восьмерок, одну “сорочку” или число “сорок”. В соответствии с русскими народными представлениями об “устройстве” тела человеческого первые две фаланги указательного пальца назывались “верхом перста” (или “вершком”), среднего - “кутыркой”, а мизинец получил название “персток”. Сама же нижняя фаланга пальца именовалась “низом перста”, “корневой”, “корнем перста” или “коренным суставом”, реже - “долOвым суставом”.

К слову сказать, в таможенной грамоте 1586 года “сороками”, например, были считаны шкурки соболей и куниц, преподнесенные австрийскому цесарю Рудольфу от царя Федора Ивановича в счет платы за ведение войны с турками.

По-видимому, число 40 долгое время ассоциировалось с понятием “конец счета” и порой служило названием неопределенно большого множества. Неслучайно в русском языке слово “сороконожка” всегда имело смысл “многоножки”. Московские церкви считались также “сороками”. Еще в XVII веке говорили, что в Москве “сорок сороков церквей”, хотя на самом деле их было всего порядка ста.

Тело человека как живая счетная машина настолько тесно оказалось связанным со счетом, что на древнегреческом языке само понятие “считать” выражалось словом “пятерить”. Да и в русском языке слово “пятерить” прежде означало способность к “увеличению”, “приумножению” или счету пятерками, другими словами - умению осуществлять счет по пальцам рук.

Пальцевой счет, унаследованный от далеких предков, сохранился вплоть до настоящего времени и активно используется, например, судьей на боксерском ринге при отсчете секунд во время нокаута или на товарно-сырьевой бирже где-нибудь в Чикаго или Токио. Да и в быту он не забыт. И сегодня мы сгибаем (а американцы, наоборот, разгибают) пальцы, в споре показывая оппоненту ради большей убедительности количество аргументов в пользу своей позиции.

Литература

Ле Гофф Ж. Цивилизация средневекового запада. - М.: Прогресс-академия, 1992.

Гарднер М. Математические новеллы / Пер. с англ.- М.: Мир, 1974. Зорина З. А., Полетаева И. И. зоопсихология.- М., 2001.

История математики с древнейших времен до начала ХIХ столетия: В 3 т. / Под ред. А. П. Юшкевича. - М.: Наука, 1970. - Т. 1.

Кликс Ф. Пробуждающееся мышление.- М., 1983.

Кольман Э. История математики в древности.- М., 1961.

Леви-Брюль Л. Сверхъестественное в первобытном мышлении. - М., 1999.

Маккьюсик В. А. наследственные признаки человека.- М.: Медицина, 1976.

Миклухо-Маклай Н. Н. Путешествия.- М.; Л., 1940. - Т. 1.

Розин В. М. Введение в культурологию.- М., 1994.

Начало счета Первобытные люди не знали счета. Сначала они на глаз сравнивали разные количества одинаковых предметов. Научившись выделять один предмет из множества, говорили «ОДИН», если предмет был не один, то говорили «МНОГО». М Н О Г О М Н О Г О О Д И Н

Постепенно люди стали приручать скот, возделывать поля и собирать урожай; появилась торговля, и тут уж без счета никак не обойтись. пальцах Сначала считали на пальцах. Когда пальцы на одной руке кончались, переходили на другую, а если и на двух руках не хватало, переходили на ноги. О численности группы пяти вещей человек говорил «столько же сколько пальцев на руке», о группе из 20 вещей – «столько же, сколько пальцев у человека». Появление счета на пальцах

5 - 1 = = 3 Очень удобно с помощью пальцев складывать и вычитать. Очень удобно с помощью пальцев складывать и вычитать.

Отпечатки рук в пещере Гаргас В доисторических пещерах археологи находили отпечатки рук. В пещере Гаргас во Франции, на стенах ее, запечатлена целая коллекция отпечатков, где зачастую не хватает одного, двух, трех, четырех пальцев. Это древнейшие ИЗОБРАЖЕНИЯ ЧИСЕЛ. В доисторических пещерах археологи находили отпечатки рук. В пещере Гаргас во Франции, на стенах ее, запечатлена целая коллекция отпечатков, где зачастую не хватает одного, двух, трех, четырех пальцев. Это древнейшие ИЗОБРАЖЕНИЯ ЧИСЕЛ. Первые упоминания о пальцевом счете

Древний Египет Бог Осирис – судья в Царстве мертвых Древние Египтяне полагали, что в загробном мире душу умершего подвергают экзамену по счету на пальцах. Древнеегипетский пальцевый счет «Величественный бог на другой стороне скажет: не привел ли ты мне человека, который не может сосчитать свои пальцы?» (из заклинания для получения перевоза души в загробный мир)

Древнейший пример записи счета был найден в 1937г. около деревни Вестоница (Моравия). Это - кость молодого волка с записью добычи доисторических охотников. Кость относится к ХХХ веку до н.э. На кости нанесено 55 глубоких зарубок. Чтобы записать результаты своих вычислений, человек делал зарубки на костях, палках. Зарубки и засечки часто группировались по 5 по числу пальцев на руках. Первые записи вычислений Зарубки на костях

Б и р к и Бурятские бирки Зарубками на палках пользовались для счёта ещё совсем недавно: каких-нибудь двести лет назад. На них «записывали» подати, налоги и долги. Такие палочки назывались БИРКАМИ. Простая палочка с зарубками не только помогала считать, но и служила документом квитанцией или распиской.

Развитие пальцевого счета Со временем пальцевый счет совершенствовался и развивался. С помощью пальцев можно было показать числа до Люди научились складывать большие числа, даже умножать на пальцах. Пальцами пользовались и для поддержания вычислений в уме. Пальцевый счет (из «Арифметики» Л. Пачоли) Полное описание пальцевого счета составил ирландский монах Беда Достопочтенный (VII-VIII в.) в своей книге.

Известно, что китайские купцы торговались, взяв друг друга за руки и указывая цену нажатием на определенные суставы пальцев. Фраза «по рукам» как раз и выражает согласие с предложенной ценой и окончанием торга. С РАЗВИТИЕМ ТОРГОВЛИ СЧЕТ НА ПАЛЬЦАХ ПРИОБРЕЛ ОСОБОЕ ЗНАЧЕНИЕ. Ведь торговали представители разных народов, которые не имели общего языка. Выработался общий пальцевый счет, понятный без слов, и этому счету обучали детей в школе.

От счета по пальцам произошли многие способы счета, например пятерками, «пяткáми» (одна рука), десятками (две руки), двадцатками (пальцы рук и ног), дюжинами, «сорокáми». Счет «ПЯТКÁМИ» Племена, которые пользовались при счете пальцами только одной руки, считали пятерками (пяткáми). Отголоски такого счета сохранились и в наши дни: У нас в быту до сих пор используется счет мелких предметовпяткáми: пуговиц, шурупов, крупных семян, и т.д. 5

В сказке П.П. Ершова «Конек-Гобунок» при покупке златогривых коней Иван считает «пятками», а более образованный царь – десятками: Ну, я пару покупаю! Продаешь ты?-Нет, меняю. Что в промен берешь добра?- Два-пять шапок серебра! То есть это будет десять Царь тотчас велел отвесить.

Счет «сорокáми» был распространен в Древней Руси. Название числа сорок появилось 800 лет назад. Слово «сорок» произошло от названия «сорóчка». В те времена звероловы подсчитывали шкурки зверьков мешками («сорóчками»). В каждом мешке хранилось по 40 беличьих шкурок или по 40 собольих хвостов, шедших в XVI веке на пошив одной боярской шубы, которую тоже именовали «сорóчкой». С ч е т « с о р о к á м и » Боярская шуба -сорóчка Меховые деньги

Как считали сороками Насчитав на правой руке 8 единиц, счетчик загибал палец левой руки. Операция счета заканчивалась, когда оказывались загнутыми все 5 пальцев левой руки. Пять восьмерок, или 40, составляли счетную группу – сорочόк. Это вычисление происходит от счета по суставам пальцев. Сибирские звероловы до начала ХХ века считали большим пальцем по двум суставам остальных четырех пальцев правой руки. Звероловы Древней Руси

Число 40 долго служило названием очень большого числа. Неслучайно в русском языке слово сороконожка всегда имело смысл многоножки. Московские церкви считались также сороками. Еще в XVII веке говорили, что в Москве сорок сороков церквей, хотя на самом деле их было всего около ста. О том, что число 40 на Руси когда-то играло особую роль при пальцевом счете, говорят и некоторые связанные с ним поверья. Так, сорок первый медведь считался роковым для русского охотника.

Счет ДЮЖИНАМИ по суставам пальцев …Когда же ты снова пришлешь к нашему ужину ДЮЖИНУ новых и сладких калош! Счет ДЮЖИНАМИ основан на подсчете числа фаланг на руке счетовода и похож на счет сорокáми. шестьдесят Сосчитав 12 фаланг на левой руке, счетовод загибал на правой руке один палец. Когда все пальцы правой руки оказывались сжатыми в кулак, счет завершался Получалось 12 пятерок, то есть 60. Кулак означал пятерку дюжин, то естьшестьдесят. 12

Примеры умножения на пальцах Метод простой. Допустим, нам нужно умножить 7 на 9. Повернём руки ладонями к себе и загнём седьмой палец (начиная считать от большого пальца слева). Число пальцев слева от загнутого будет равно десяткам, а справа - единицам искомого произведения. С П О С О Б 1 Таблица умножения на 9 7 х 9 = 63

С П О С О Б 2 Умножение чисел от 6 до 10 Пусть нам нужно умножить 6 на 7. Руки сожмем в кулаки. На одной руке разогнем столько пальцев, насколько 6 больше 5, т.е. на 1 палец, а на другой столько, насколько 7 больше 5, т.е. на 2. Количество разогнутых пальцев покажет число десятков произведения. Один палец на одной руке, да два пальца на другой составят десятки, получаем три десятка. Перемножим загнутые пальцы правой руки с загнутыми пальцами левой руки. На одной четыре, а на другой три. Их произведение равно 3х4=12. Теперь сложим результаты двух действий: 30+12=42 Это старинный способ пальцевого счета. Так умножали еще древние римляне. () х 10 = 30 4 х 3 = 12 4 х 3 = = 42 6 х 7 = 42 6 х 7 = 42

С П О С О Б 3 Умножение двузначных чисел на 9 37 х 9 = х х х 1 = 333 Расположим руки как в способе 1. Отсчитаем число ДЕСЯТКОВ (3) нашего двузначного множителя от большого пальца левой руки. Раздвинем пальцы так, чтобы палец десятков и следующий за ним образовали V (галочку). Палец, соответствующий ЕДИНИЦАМ множителя (7), загнём, как и в способе I (начиная считать от большого пальца слева). Количество пальцев от большого пальца левой руки до «галочки» равно количеству сотен в произведении; Количество пальцев от «галочки» до загнутого пальца равно количеству десятков в произведении; Количество пальцев от загнутого пальца до большого пальца правой руки равно количеству единиц в произведении. Загнутый палец в подсчётах не участвует. Перед нами три группы пальцев: сотни, десятки и единицы произведения.