Интенсивность отказов, общая формула вероятности безотказной работы. Расчет основных показателей надежности Интенсивность отказов выражается в
Интенсивность отказов () называется вероятность отказа не ремонтируемого изделия в единицу времени при условии, что отказ до этого момента не возникал. Предположим, что некоторый элемент проработал в течение интервала времени от 0 до t. Какова вероятность того, что этот элемент откажет на интервале .
А-событие безотказной работы от 0 до t. В-событие безотказной работы от t до t 1 .
Для того чтобы элемент смог безотказно работать на интервале он должен безотказно проработать на интервале 0 до t.
Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А) (1)
Р(А) =Р(0,t) – вероятность безотказной работы элемента на интервале от 0 до t.
Р(В/А) = Р(t,t 1) – условная вероятность события В, что условие А имело место.
Р(В/А)= Р(t,t 1)=Р(АВ)/Р(А); Р(АВ)= Р(0,t 1).
0, t= 0,t+ t, t 1 ,
Р(t,t 1)= Р(0,t 1)/ Р(0,t) (2)
Р(t,t 1)= Р(t 1)/ Р(t) (2а)
Вероятность отказа элемента на интервале (t, t 1):
Равенство (3) может быть переписано в виде: . Умножим числитель и знаменатель (4) на при .
Введем обозначение - интенсивность отказа.
Из равенства (5) с учетом (6) получим: , .
Из (7) следует что интенсивность отказа есть отношение вероятности отказа на интервал () при . Интенсивность отказов определяемая (7) стремится к интенсивности отказа определяемая равенством (6). В соответствии (6) величина может быть определена из графика функции надежности как отношение численного значения тангенса угла наклона касательной к кривой к численной ординаты функции надежности.
Если известна интенсивность отказа элементов, то можно рассчитать вероятность работы любой сколь угодно сложной системы. Незнание функции для составляющих элементов исключает возможность определить вероятность безотказной работы.
Чем менее точно известно для элементов тем больше ошибки в расчете безотказности изделия.
Интенсивность отказов может быть определена опытным путем на основе испытаний изделий.
Предположим Р(t) – есть отношение: , - число элементов, оставшихся безотказными. Тогда на малом отрезке и большом числе испытуемых образцов N.
где -число отказавших элементов на интервале времени, n(t)-число неотказавших элементов.
Экспериментальная кривая заменяется плавной кривой. Чем больше N и меньше интервал времени , тем точнее экспериментальная характеристика и заменяющая её плавная кривая, которая отражает действительную картину интенсивности отказов.
Эргодическая теория. На основании известной из теории вероятности эргодической теории среднее значение (мат. ожидание) при совокупном наблюдении ……….равна среднему значению по времени, определенной за одной системой (элементов).
В данном случае это означает, что изменение интенсивности отказа по времени для 1-го отдельно взятого элемента может быть описано тем же самым законом что и интенсивность, полученная при испытании однотипных элементов большой группы.
Вид функции показан 3 характерных участка:
I – участок приработки; II – нормальной эксплуатации; III – участок износовых отказов, могут возникать внезапные отказы.
Деление на участки является условным но оно позволяет рассмотреть работу элементов по участкам и для каждого участка применять свой закон распределения.
Общая формула безотказной работы позволяет определить Р если известна интенсивность отказа.
Если требуется определить вероятность безотказной работы . Равенство (12) справедливо при условии, что в момент времени t 1 элемент находился в работоспособном состоянии.
На стадии прикидочного и ориентировочного расчетов электротехнических устройств рассчитывают основные показатели надежности.
Основными качественными показателями надежности является:
Интенсивность отказов
Средняя наработка до отказа.
Интенсивность отказов l(t) - это число отказавшихn(t) элементов устройства в единицу времени, отнесенное к среднему общему числу элементов N(t) , работоспособных к моменту времени Δ t [ 9]
l (t)=n(t)/(Nt*Δt) ,
где Δt - заданный отрезок времени.
Например : 1000 элементов устройства работали 500 часов. За это время отказали 2 элемента. Отсюда,
l (t)=n(t)/(Nt*Δt)=2/(1000*500)=4*10 -6 1/ч, то есть за 1 час может отказать 4-е элемента из миллиона.
Показатели интенсивности отказов l(t) элементов являются справочными данными, в приложении Г приводятся интенсивности отказов l(t) для элементов, часто применяемых в схемах.
Электротехническое устройство состоит из большого числа комплектующих элементов, поэтому определяют эксплуатационную интенсивность отказов l(t) всего устройства как сумму интенсивностей отказов всех элементов, по формуле [ 11]
где k – поправочный коэффициент, учитывающий относительное изменение средней интенсивности отказов элементов в зависимости от назначения устройства;
m – общее количество групп элементов;
n і - количество элементов в і- й группе с одинаковой интенсивностью отказов l і (t) .
Вероятность безотказной работы P(t) представляет собой вероятность того, что в пределах указанного периода времени t , отказ устройства не возникнет. Этот показатель определяется отношение числа устройств, безотказно проработавших до момента времени t к общему числу устройств, работоспособных в начальный момент.
Например, вероятность безотказной работы P(t) =0,9 представляет собой вероятность того, что в пределах указанного периода времени t= 500час, отказ произойдет в (10-9=1) одном устройстве из десяти, и из 10 устройств 9 будут работать без отказов.
Вероятность безотказной работы P(t) =0,8 представляет собой вероятность того, что в пределах указанного периода времени t=1000час, отказ произойдет двух 2 устройствах из ста, и из 100 устройств 80 устройств будут работать без отказов.
Вероятность безотказной работы P(t) =0,975 представляет собой вероятность того, что в пределах указанного периода времени t=2500час, отказ произойдет в 1000-975=25 устройствах из тысячи, а 975 устройств будут работать без отказов.
Количественно надёжность устройства оценивается как вероятность P(t) события, заключающегося в том, что устройство в течение времени от 0 до t будет безотказно выполнять свои функции. Величина P(t) вероятность безотказной (рассчитанное значение Р(t) не должно быть менее 0,85) работы определяется выражением
где t – время работы системы, ч (t выбирается из ряда: 1000, 2000, 4000, 8000, 10000 ч.);
λ – интенсивность отказов устройства, 1 / ч;
Т 0 – наработка на отказ, ч.
Расчёт надёжности заключается в нахождении общей интенсивности отказов λ устройства и наработки на отказ:
Время восстановления устройства при отказе включает в себя время поиска неисправного элемента, время его замены или ремонта и время проверки работоспособности устройства.
Среднее время восстановления Т в электротехнических устройств может выбираться из ряда 1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 18, 24, 36, 48 час. Меньшие значения соответствуют устройствам с высокой ремонтнотпригодностью. Среднее время восстановления Т в можно уменьшить используя встроенный контроль или самодиагностику, модульное исполнение составных частей, доступный монтаж.
Значение коэффициента готовности определяется по формуле
где Т 0 – наработка на отказ, ч.
Т в – среднее время восстановления, ч.
Надёжность элементов в значительной степени зависит от их электрических и температурных режимов работы. Для повышения надёжности элементы необходимо использовать в облегченных режимах, определяемых коэффициентами нагрузки.
Коэффициент нагрузки – это отношение расчетного параметра элемента в рабочем режиме к его максимально допустимому значению. Коэффициенты нагрузки различных элементов могут сильно отличаться.
При расчёте надежности устройства все элементы системы разбиваются на группы элементов одного типа и одинаковыми коэффициентами нагрузки К н.
Интенсивность отказа і- го элемента определяется по формуле
(10.3)
где К н і - коэффициент нагрузки, рассчитывают в картах рабочих режимов, либо задают полагая, что элемент работает в нормальных режимах, в приложении Г приводятся значения коэффициентов нагрузки элементов;
λ 0і – базовая интенсивность отказов і - го элемента приводится в приложении Г.
Часто, для расчета надежности, используются данные интенсивности отказа λ 0і аналогов элементов.
Пример расчета надежности устройства состоящего из покупного комплекса BT-85W импортного производства и разрабатываемого на элементной базе серийного производства источника питания.
Интенсивности отказов изделий импортного производства определяют, как обратную величину времени эксплуатации, (иногда берут гарантийный срок обслуживания изделия) из расчета эксплуатации в одни сутки определенного числа часов.
Гарантийный срок службы покупного импортного изделия 5 лет, изделие будет работать 14,24часа в сутки:
Т=14,24час х 365дней х 5 лет = 25981 часов – время наработки на отказ.
10 -6 1/час - интенсивность отказов.
Расчёты и исходные данные выполняют на ЭВМ с использованием программ Excel и приводятся в таблицах 10.1 и 10.2. Пример расчета приводится в таблице 10.1.
Таблица 10.1 – Расчет надежности системы
| Наименование и тип элемента или аналога | Коэффи-циент, нагрузки, К н i | ||||
| λ i *10 -6 , 1 / ч | λ i *К н i *10 -6 1 / ч | Кол-во n i , | n і *λ i *10 -6 , 1 / ч | ||
| Комплекс BT-85W | 1,00 | 38,4897 | 38,4897 | 38,4897 | |
| Конденсатор К53 | 0,60 | 0,0200 | 0,0120 | 0,0960 | |
| Розетка (вилка)СНП268 | 0,60 | 0,0500 | 0,0300 | 0,0900 | |
| Микросхема TRS | 0,50 | 0,0460 | 0,0230 | 0,0230 | |
| Резистор ОМЛТ | 0,60 | 0,0200 | 0,0120 | 0,0120 | |
| Вставка плавкая ВП1-1 | 0,30 | 0,1040 | 0,0312 | 0,0312 | |
| Стабилитрон 12В | 0,50 | 0,4050 | 0,2500 | 0,4050 | |
| Индикатор 3Л341Г | 0,20 | 0,3375 | 0,0675 | 0,0675 | |
| Кнопочный выключатель | 0,30 | 0,0100 | 0, 0030 | 0,0030 | |
| Фотодиод | 0,50 | 0,0172 | 0,0086 | 0,0086 | |
| Соединение сваркой | 0,40 | 0,0001 | 0,0004 | 0,0004 | |
| Провод, м | 0,20 | 0,0100 | 0,0020 | 0,2 | 0,0004 |
| Соединение пайкой | 0,50 | 0,0030 | 0,0015 | 0,0045 | |
| l всего устройства | å=39,2313 |
Определяем общую интенсивность отказов устройства
Тогда наработка на отказ согласно выражению (10.2) и соответственно равна
Для определения вероятности безотказной работы за определенный промежуток времени построим график зависимости:
Таблица 10.2 - Расчет вероятности безотказной работы
| t(час) | |||||||||
| P(t) | 0,97 | 0,9 | 0,8 | 0,55 | 0,74 | 0,65 | 0,52 | 0,4 | 0,34 |
График зависимости вероятности безотказной работы от времени работы показан на рисунке 10.1.
Рисунок 10.1 – Вероятность безотказной работы от времени работы
Для устройства, как правило задают вероятность безотказной работы от 0,82 до 0,95. По графику рисунка 10.1 можем определить для разработанного устройства при заданной вероятности безотказной работы Р(t)=0,82, время наработки на отказ Т о =5000час.
Расчет выполнен для случая, когда отказ любого элемента приводит к отказу всей системы в целом, такое соединение элементов называется логически последовательным или основным. Надежность можно повысить резервированием.
Например . Технология элементов обеспечивает среднюю интенсивность отказов элементарных деталей l i =1*10 -5 1/ч . При использовании в устройстве N=1*10 4 элементарных деталей суммарная интенсивность отказов lо= N*li=10 -1 1/ч . Тогда среднее время безотказной работы устройства To=1/lо=10 ч. Если выполнить устройство на основе 4-х параллельно включенных одинаковых устройств, то среднее время безотказной работы увеличится в N/4=2500 раз и составит 25000 ч. или 34 месяца или около 3 лет.
Формулы позволяют выполнить расчет надежности устройства, если известны исходные данные - состав устройства, режим и условия его работы, интенсивности отказов его элементов.
контрольная работа
3. Расчет интенсивности отказов
Рассчитаю интенсивность отказов для заданных значений t и t
Подсистема управления включает в себя k последовательно соединенных блоков (Рис.3.1).
Рисунок 3.1 - схема соединения электронных блоков
Интенсивность отказов рассчитываю по формуле (3.1).
где - статистическая вероятность отказа устройства на интервале (t, t +Дt)
P(t)-вероятность безотказной работы устройства;
Дt = 3·103 ч. принятый ранее в работу интервал наблюдения;
Определяю статистическую вероятность отказа устройства на заданном интервале (12,5·103ч) из таблицы (2.1) и нахожу интенсивность отказов;
При условии, что интенсивность отказов не меняется в течении всего срока службы объекта, т.е. л=const,то наработка до отказа распределена по экспоненциальному закону и вероятность безотказной работы блока в этом случае определяется по формуле (3.2)
А средняя наработка блока до отказа определяется по формуле (3.3)
Интенсивность отказов подсистемы лП(t), образованной из k-последовательно включенных блоков, нахожу по формуле (3.4)
Так как все блоки имеют одинаковую систему отказов, то определяю по формуле (3.5)
Вероятность безотказной работы подсистемы определяю согласно формуле (3.6)
Среднюю наработку на отказ подсистемы определяю аналогично по формуле (3.3)
Результаты расчета зависимостей вероятностей безотказной работы одного блока и подсистемы от наработки заношу в таблицу 3.2
Таблица 3.2
Строю график зависимостей и
Рисунок 3.1 - График зависимостей и.
Для любого распределения наработки на отказ вероятность безотказной работы подсистемы, состоящей из k-последовательно соединенных блоков, связана с вероятностями безотказной работы этих блоков соотношением по формуле (3.7)
Если блоки равно надежны, то вероятность безотказной работы подсистемы определяю по формуле (3.8)
Рассчитываю вероятность безотказной работы подсистемы при наработке, равной по формулам (3.6) и (3.8) и сравниваю результаты:
Результаты расчета по обеим формулам одинаковы.
Для решения практических задач по организации дорожного движения могут быть использованы рекомендации по выбору значений коэффициентов аварийности, приведенные в таблице 2.2...
Анализ безопасности дорожного движения Ванинского района Хабаровского края
Для расчета среднегодовой суточной интенсивности используются коэффициенты перехода из ВСН 42 - 87 / /. Расчет производится по формуле: (2.3) где: интенсивность движения за час...
Безотказность невосстанавливаемых изделий летательного аппарата
Безотказность работы системы кондиционирования летательного аппарата
Расстояние между крайними сечениями на построенных временных диаграммах определяет размах н, полученное значение которого разбивается на L интервалов и проводятся сечения диаграммы, соответствующие границам интервалов...
Для оценки реальной загрузки перекрестка транспортом пользоваться абсолютным значением интенсивности некорректно, поскольку при этом не учитывается состав транспортных потоков (ТП)...
Моделирование транспортного потока Гриншильдса и Гринберга
Построение основной диаграммы по основному уравнению транспортного потока: N=k V, (4.1) где N - интенсивность транспортного потока, авт. /ч; k - плотность, авт. /км; V - скорость, км/ч. При известныхNцикл и Vцикл из формулы (4.1) выражаем: Kцикл=Nцикл/Vцикл, (4...
Организация безопасности движения на автомобильном транспорте
Интенсивность движения смешанного потока определяется по формуле: , где Иij - входящий транспортный поток по i-му направлению j-ой составляющей, %к - процент к-го вида транспорта, входящего в расчетный поток...
Организация дорожного движения
Интенсивность движения транспортных средств по направлению в приведенных единицах Nпрi определяется по формуле: (1) где Ni - заданная интенсивность движения по i-му направлению, авт/ч; i - номер направления движения; Рл, Рг...
Основы теории надежности и диагностики
Интенсивность отказов (L), тыс. км-1, - условная плотность вероятности возникновения отказа токоприемника Л -13У, определяемая для рассматриваемого момента времени при условии, что до этого момента отказ не возник...
Оценка надежности токарно-винторезного станка марки 1К62 ЗАО "Авиакомпания "Ангара"
Дерево отказов или дерево аварий представляет собой сложную графическую структуру, лежащую в основе словесно - графического способа анализа возникновения аварии из последовательностей и комбинаций неисправностей и отказов элементов системы...
Перекрёсток ул. Лейтезина - ул. Революции
Расчет интенсивности проводится отдельно для пешеходных и транспортных потоков, по каждому направлению движения. На заданном участке УДС необходимо посчитать количество транспортных средств (ТС) и пешеходов, проходящих через перекресток...
Расчет оптимальной численности механизации на грузовом дворе аэропорта
Интенсивность выходящего потока I типа из склада отправления на перрон: , [поддон/мин], где - максимальный объем отправок в часы «пик», суток «пик», месяца «пик», т/ч; - коэффициент учитывающий длинномерные и тяжеловесные грузы (0,85--0...
Ремонт устройств электрической централизации управления стрелками на железной дороге
Стрелки вместе с электрическими приводами на них являются важнейшими узлами электрической централизации. Отказ в работе стрелки может свести до минимума надежность любой системы централизации и привести к самым тяжелым последствиям...
Система диагностики цепей управления электровоза
Совершенствование организации технического обслуживания грузовых вагонов
Исходные данные для расчета приведены в таблице 2.1 Таблица 2.1 - Количество составов, проследовавших по участку Пинск-Жабинка и количество вагонов в составе Показатель Месяцы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4,5 4,6 5,1 5,5 5,8 4,8 4,7 4,1 3...
Аннотация: Рассматриваются два вида средств поддержания высокой доступности: обеспечение отказоустойчивости (нейтрализация отказов, живучесть) и обеспечение безопасного и быстрого восстановления после отказов (обслуживаемость).
Доступность
Основные понятия
Информационная система предоставляет своим пользователям определенный набор услуг (сервисов). Говорят, что обеспечен нужный уровень доступности этих сервисов, если следующие показатели находятся в заданных пределах:
- Эффективность услуг . Эффективность услуги определяется в терминах максимального времени обслуживания запроса, количества поддерживаемых пользователей и т.п. Требуется, чтобы эффективность не опускалась ниже заранее установленного порога.
- Время недоступности . Если эффективность информационной услуги не удовлетворяет наложенным ограничениям, услуга считается недоступной. Требуется, чтобы максимальная продолжительность периода недоступности и суммарное время недоступности за некоторый период (месяц, год) не превышали заранее заданных пределов.
В сущности, требуется, чтобы информационная система почти всегда работала с нужной эффективностью. Для некоторых критически важных систем (например, систем управления) время недоступности должно быть нулевым, без всяких "почти". В таком случае говорят о вероятности возникновения ситуации недоступности и требуют, чтобы эта вероятность не превышала заданной величины. Для решения данной задачи создавались и создаются специальные отказоустойчивые системы , стоимость которых, как правило, весьма высока.
К подавляющему большинству коммерческих систем предъявляются менее жесткие требования, однако современная деловая жизнь и здесь накладывает достаточно суровые ограничения, когда число обслуживаемых пользователей может измеряться тысячами, время ответа не должно превышать нескольких секунд, а время недоступности – нескольких часов в год.
Задачу обеспечения высокой доступности необходимо решать для современных конфигураций, построенных в технологии клиент/сервер. Это означает, что в защите нуждается вся цепочка – от пользователей (возможно, удаленных) до критически важных серверов (в том числе серверов безопасности).
Основные угрозы доступности были рассмотрены нами ранее.
В соответствии с ГОСТ 27.002, под отказом понимается событие, которое заключается в нарушении работоспособности изделия. В контексте данной работы изделие – это информационная система или ее компонент.
В простейшем случае можно считать, что отказы любого компонента составного изделия ведут к общему отказу , а распределение отказов во времени представляет собой простой пуассоновский поток событий. В таком случае вводят понятие интенсивности отказов и , которые связаны между собой соотношением
где – номер компонента,
– интенсивность отказов ,
– .
Интенсивности отказов независимых компонентов складываются:
а среднее время наработки на отказ для составного изделия задается соотношением
Уже эти простейшие выкладки показывают, что если существует компонент, интенсивность отказов которого много больше, чем у остальных, то именно он определяет среднее время наработки на отказ всей информационной системы. Это является теоретическим обоснованием принципа первоочередного укрепления самого слабого звена .
Пуассоновская модель позволяет обосновать еще одно очень важное положение, состоящее в том, что эмпирический подход к построению систем высокой доступности не может быть реализован за приемлемое время. При традиционном цикле тестирования/отладки программной системы по оптимистическим оценкам каждое исправление ошибки приводит к экспоненциальному убыванию (примерно на половину десятичного порядка) интенсивности отказов . Отсюда следует, что для того, чтобы на опыте убедиться в достижении необходимого уровня доступности, независимо от применяемой технологии тестирования и отладки, придется потратить время, практически равное среднему времени наработки на отказ . Например, для достижения среднего времени наработки на отказ 10 5 часов потребуется более 10 4,5 часов, что составляет более трех лет. Значит, нужны иные методы построения систем высокой доступности , методы, эффективность которых доказана аналитически или практически за более чем пятьдесят лет развития вычислительной техники и программирования.
Пуассоновская модель применима в тех случаях, когда информационная система содержит одиночные точки отказа , то есть компоненты, выход которых из строя ведет к отказу всей системы. Для исследования систем с резервированием применяется иной формализм .
В соответствии с постановкой задачи будем считать, что существует количественная мера эффективности предоставляемых изделием информационных услуг. В таком случае вводятся понятия показателей эффективности отдельных элементов и эффективности функционирования всей сложной системы.
В качестве меры доступности можно принять вероятность приемлемости эффективности услуг, предоставляемых информационной системой, на всем протяжении рассматриваемого отрезка времени. Чем большим запасом эффективности располагает система, тем выше ее доступность.
При наличии избыточности в конфигурации системы вероятность того, что в рассматриваемый промежуток времени эффективность информационных сервисов не опустится ниже допустимого предела, зависит не только от вероятности отказа компонентов, но и от времени, в течение которого они остаются неработоспособными, поскольку при этом суммарная эффективность падает, и каждый следующий отказ может стать фатальным. Чтобы максимально увеличить доступность системы, необходимо минимизировать время неработоспособности каждого компонента. Кроме того, следует учитывать, что, вообще говоря, ремонтные работы могут потребовать понижения эффективности или даже временного отключения работоспособных компонентов; такого рода влияние также необходимо минимизировать.
Несколько терминологических замечаний. Обычно в литературе по теории надежности вместо доступности говорят о готовности (в том числе о высокой готовности ). Мы предпочли термин "доступность", чтобы подчеркнуть, что информационный сервис должен быть не просто "готов" сам по себе, но доступен для своих пользователей в условиях, когда ситуации недоступности могут вызываться причинами, на первый взгляд не имеющими прямого отношения к сервису (пример – отсутствие консультационного обслуживания).
Далее, вместо времени недоступности обычно говорят о коэффициенте готовности . Нам хотелось обратить внимание на два показателя – длительность однократного простоя и суммарную продолжительность простоев, поэтому мы предпочли термин " время недоступности " как более емкий.
Основы мер обеспечения высокой доступности
Основой мер повышения доступности является применение структурированного подхода, нашедшего воплощение в объектно-ориентированной методологии. Структуризация необходима по отношению ко всем аспектам и составным частям информационной системы – от архитектуры до административных баз данных, на всех этапах ее жизненного цикла – от инициации до выведения из эксплуатации. Структуризация , важная сама по себе, является одновременно необходимым условием практической реализуемости прочих мер повышения доступности. Только маленькие системы можно строить и эксплуатировать как угодно. У больших систем свои законы, которые, как мы уже указывали, программисты впервые осознали более 30 лет назад.
При разработке мер обеспечения высокой доступности
Различают вероятностные (математические) и статистические показатели надежности. Математические показатели надежности выводятся из теоретических функций распределения вероятностей отказов. Статистические показатели надежности определяются опытным путем при испытаниях объектов на базе статистических данных эксплуатации оборудования.
Надежность является функцией многих факторов, большинство из которых случайны. Отсюда ясно, что для оценки надежности объекта необходимо большое количество критериев.
Критерий надежности – это признак, по которому оценивается надежность объекта.
Критерии и характеристики надежности носят вероятностный характер, поскольку факторы, влияющие на объект, носят случайный характер и требуют статистической оценки.
Количественными характеристиками надежности могут быть:
вероятность безотказной работы;
среднее время безотказной работы;
интенсивность отказов;
частота отказов;
различные коэффициенты надежности.
1. Вероятность безотказной работы
Служит одним из основных показателей при расчетах на надежность.
Вероятность безотказной работы объекта называется вероятность того, что он будет сохранять свои параметры в заданных пределах в течение определенного промежутка времени при определенных условиях эксплуатации.
В дальнейшем полагаем, что эксплуатация объекта происходит непрерывно, продолжительность эксплуатации объекта выражена в единицах времени t и эксплуатация начата в момент времени t=0.
Обозначим P(t) вероятность безотказной работы объекта на отрезке времени . Вероятность, рассматриваемую как функцию верхней границы отрезка времени, называют также функцией надежности.
Вероятностная оценка: P(t) = 1 – Q(t), где Q(t) — вероятность отказа.
Из графика очевидно, что:
1. P(t) – невозрастающая функция времени;
2. 0 ≤ P(t) ≤ 1;
3. P(0)=1; P(∞)=0.
На практике иногда более удобной характеристикой является вероятность неисправной работы объекта или вероятность отказа:
Q(t) = 1 – P(t).
Статистическая характеристика вероятности отказов: Q*(t) = n(t)/N
2. Частота отказов
Частотой отказов называется отношение числа отказавших объектов к их общему числу перед началом испытания при условии что отказавшие объекты не ремонтируются и не заменяются новыми, т.е
a*(t) = n(t)/(NΔt)
где a*(t) — частота отказов;
n(t) – число отказавших объектов в интервале времени от t – t/2 до t+ t/2;
Δt – интервал времени;
N – число объектов, участвующих в испытании.
Частота отказов есть плотность распределения времени работы изделия до его отказа. Вероятностное определение частоты отказов a(t) = -P(t) или a(t) = Q(t).
Таким образом, между частотой отказов, вероятностью безотказной работы и вероятностью отказов при любом законе распределения времени отказов существует однозначная зависимость: Q(t) = ∫ a(t)dt.
Отказ трактуют в теории надежности как случайное событие. В основе теории лежит статистическое истолкование вероятности. Элементы и образованные из них системы рассматривают как массовые объекты, принадлежащие одной генеральной совокупности и работающие в статистически однородных условиях. Когда говорят об объекте, то в сущности имеют в виду наугад взятый объект из генеральной совокупности, представительную выборку из этой совокупности, а часто и всю генеральную совокупность.
Для массовых объектов статистическую оценку вероятности безотказной работы P(t) можно получить, обработав результаты испытаний на надежность достаточно больших выборок. Способ вычисления оценки зависит от плана испытаний.
Пусть испытания выборки из N объектов проведены без замен и восстановлений до отказа последнего объекта. Обозначим продолжительности времени до отказа каждого из объектов t 1 , …, t N . Тогда статистическая оценка:
P*(t) = 1 — 1/N ∑η(t-t k)
где η — единичная функция Хевисайда.
Для вероятности безотказной работы на определенном отрезке удобна оценка P*(t) = /N,
где n(t) – число объектов, отказавших к моменту времени t.
Частота отказов, определяемая при условии замены отказавших изделий исправными, иногда называется средней частотой отказов и обозначается ω(t).
3. Интенсивность отказов
Интенсивностью отказов λ(t) называется отношение числа отказавших объектов в единицу времени к среднему числу объектов, работающих в данный отрезок времени, при условии, что отказавшие объекты не восстанавливаются и не заменяются исправными: λ(t) = n(t)/
где N ср = /2 — среднее число объектов, исправно работавших в интервале времени Δt;
N i – число изделий, работавших в начале интервала Δt;
N i+1 – число объектов, исправно работавших в конце интервала времени Δt.
Ресурсные испытания и наблюдения над большими выборками объектов показывают, что в большинстве случаев интенсивность отказов изменяется во времени немонотонно.
Из кривой зависимости отказов от времени видно, что весь период работы объекта можно условно поделить на 3 периода.
I — й период – приработка.
Приработочные отказы являются, как правило, результатом наличия у объекта дефектов и дефектных элементов, надежность которых значительно ниже требуемого уровня. При увеличении числа элементов в изделии даже при самом строгом контроле не удается полностью исключить возможность попадания в сборку элементов, имеющих те или иные скрытые дефекты. Кроме того, к отказам в этот период могут приводить и ошибки при сборке и монтаже, а также недостаточная освоенность объекта обслуживающим персоналом.
Физическая природа таких отказов носит случайный характер и отличается от внезапных отказов нормального периода эксплуатации тем, что здесь отказы могут иметь место не при повышенных, а и при незначительных нагрузках («выжигание дефектных элементов»).
Снижение величины интенсивности отказов объекта в целом, при постоянном значении этого параметра для каждого из элементов в отдельности, как раз и объясняется «выжиганием» слабых звеньев и их заменой наиболее надежными. Чем круче кривая на этом участке, тем лучше: меньше дефектных элементов останется в изделии за короткий срок.
Чтобы повысить надежность объекта, учитывая возможность приработочных отказов, нужно:
проводить более строгую отбраковку элементов;
проводить испытания объекта на режимах близких к эксплуатационным и использовать при сборке только элементы, прошедшие испытания;
повысить качество сборки и монтажа.
Среднее время приработки определяют при испытаниях. Для особо важных случаев необходимо увеличить срок приработки в несколько раз по сравнению со средним.
II — й период – нормальная эксплуатация
Этот период характеризуется тем, что приработочные отказы уже закончились, а отказы, связанные с износом, еще не наступили. Этот период характеризуется исключительно внезапными отказами нормальных элементов, наработка на отказ которых очень велика.
Сохранение уровня интенсивности отказов на этом этапе характеризуется тем, что отказавший элемент заменяется таким же, с той же вероятностью отказа, а не лучшим, как это происходило на этапе приработки.
Отбраковка и предварительная обкатка элементов, идущих на замену отказавших, имеет для этого этапа еще большее значение.
Наибольшими возможностями в решении этой задачи обладает конструктор. Нередко изменение конструкции или облегчение режимов работы всего одного-двух элементов обеспечивает резкое повышение надежности всего объекта. Второй путь – повышение качества производства и даже чистоты производства и эксплуатации.
III – й период – износ
Период нормальной эксплуатации заканчивается, когда начинают возникать износовые отказы. Наступает третий период в жизни изделия – период износа.
Вероятность возникновения отказов из-за износов с приближением к сроку службы возрастает.
С вероятностной точки зрения отказ системы в данном промежутке времени Δt = t 2 – t 1 определяется как вероятность отказа:
∫a(t) = Q 2 (t) — Q 1 (t)
Интенсивность отказов есть условная вероятность того, что в промежуток времени Δt произойдет отказ при условии, что до этого он не произошел λ(t) = /[ΔtP(t)]
λ(t) = lim /[ΔtP(t)] = / = Q"(t)/P(t) = -P"(t)/P(t)
так как a(t) = -P"(t), то λ(t) = a(t)/P(t).
Эти выражения устанавливают зависимость между вероятностью безотказной работы, частотой и интенсивностью отказов. Если a(t) – невозрастающая функция, то справедливо соотношение:
ω(t) ≥ λ(t) ≥ a(t).
4. Среднее время безотказной работы
Средним временем безотказной работы называется математическое ожидание времени безотказной работы.
Вероятностное определение: среднее время безотказной работы равно площади под кривой вероятности безотказной работы.
Статистическое определение: T* = ∑θ i /N 0
где θ I – время работы i-го объекта до отказа;
N 0 – начальное число объектов.
Очевидно, что параметр Т* не может полностью и удовлетворительно характеризовать надежность систем длительного пользования, так как является характеристикой надежности только до первого отказа. Поэтому надежность систем длительного использования характеризуют средним временем между двумя соседними отказами или наработкой на отказ t ср:
t ср = ∑θ i /n = 1/ω(t),
где n – число отказов за время t;
θ i – время работы объекта между (i-1)-м и i-м отказами.
Наработка на отказ – среднее значение времени между соседними отказами при условии восстановления отказавшего элемента.
